Élimination d'un médicament

On injecte dans le sang d’un malade \(2\)  cm \(^3\)  d’un médicament. On admet que le processus d’élimination du médicament peut être modélisé par une suite \(\left(U_n\right)\) , dont le terme général \(U_n\)  représente le volume en cm \(^3\)  de médicament présent dans le sang au bout de \(n\)  heures, \(n\)  étant un entier naturel. Dans ce modèle, on considère que le volume de médicament contenu dans le sang diminue de \(8\)  % chaque heure.

1. Vérifier que \(U_1 = 1,84\)  et donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.

2. a. Pour tout entier naturel \(n\) , exprimer \(U_{n+1}\)  en fonction de \(U_n\) .
    b. En déduire la nature de la suite \(\left(U_n\right)\) . Préciser sa raison et son premier terme.

3. Pour que le médicament soit actif, le volume de médicament présent dans le sang du malade doit rester supérieur à un certain seuil \(S\)  ; ce seuil dépend du malade.
    a. À l’aide d’une fonction écrite en langage Python, on se propose de déterminer, en fonction de \(S\) , le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif. Compléter le programme écrit en Python ci-dessous.

\(\begin{array}{}\texttt{def}\,\texttt{volMedicament(S):}\\\qquad\texttt{u=2}\\\qquad\texttt{n=0}\\\qquad\texttt{while u>S:}\\\qquad\texttt{u=u*...}\\\qquad\texttt{n=n+1}\\\texttt{return n}\\\end{array}\)

    b. On s’intéresse au cas d’un malade pour qui ce seuil est estimé à  \(S = 1,5\)  cm \(^3\) . Que doit-on saisir pour exécuter la fonction volMedicament afin qu’elle renvoie le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade ? Quel est alors ce nombre d’heures ?